Pues el mio es del 2004, y va como el de Miguel_FL, aunque si pasa un tiempo de aproximadamente 10 segundos, dejan de funcionar aunque no la abras.
Siempre he pensado que es así para que no tengas que abrir el contacto en caso de que se te quede abierta alguna ventanilla, y que te dé tiempo de cerrarla.
Aunque también puede tener algo que ver con la programación de la centralita según el modelo. A fin de cuentas, las versiones Limited cierran sólo el coche si se te queda abierto, y puede ser que tengamos una programación a medio camino.
Lo cierto es que lo que no es normal es que no te hayas dado cuenta de esto nunca. ¿Quizás no se te había dado el caso?
No creo que tenga nada que ver con que al coche le cueste más arrancar. De todas formas puedes acercarte a algún establecimiento especialista en baterías y comprobar el estado. No te van a cobrar sólo por mirar eso, y te quedas más tranquilo (Recuerda que con un tester sólo vas a ver el voltaje, y necesitas saber si la carga se está haciendo bien).
Si la batería está bien, mira el motor de arranque.

, puede estar dando sus últimos coletazos.